άλγεβρα

Ευρύτατος κύκλος επιστημονικών γνώσεων που ανάγονται στα μαθηματικά. Όρος με τον οποίο σήμερα χαρακτηρίζεται ο εκτενής εκείνος κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τη σπουδή των συστημάτων με σχέσεις και πράξεις. Πρόκειται για συστήματα που γενικεύουν με ποικίλους τρόπους τους συνήθεις αριθμούς και τις συνήθεις τέσσερις πράξεις. Αυτή η σημασία της λέξης είναι αρκετά πρόσφατη και χαρακτηρίζει την ονομαζόμενη, συνήθως, μοντέρνα ά. (που, ίσως, είναι προτιμότερο να την ονομάζει κανείς αφηρημένη ή γενική). Η παλαιότερη ά. χαρακτηρίζεται ως κλασική και περιλαμβάνει κυρίως το κεφάλαιο που είναι σχετικό με τις αλγεβρικές εξισώσεις, με τους στοιχειώδεις κανόνες της κλασικής ά. Πηγές.Η ά., σε αντίθεση με την αρχαιότατη γεωμετρία, είναι επιστήμη σχετικά πρόσφατη. Πραγματικά, οι αρχαίοι Έλληνες μετέφραζαν κάθε πρόβλημα σε γλώσσα γεωμετρική. Έτσι σήμερα, το πρόβλημα, π.χ., της επίλυσης της εξίσωσης x² = 4, τίθεται ως εξής: «να βρεθεί αριθμός τέτοιος, ώστε το γινόμενό του επί τον εαυτό του να είναι ο 4». Αντίθετα, οι αρχαίοι Έλληνες έθεταν το πρόβλημα αυτό με εντελώς διαφορετικό τρόπο: «να κατασκευαστεί ένα ευθύγραμμο τμήμα, με πλευρά τετραγώνου ίση με εμβαδόν 4» (με την υπόθεση, βέβαια, ότι έχει προοριστεί κάποια μονάδα μέτρησης επιφανειών). Επίσης, σήμερα αποδεικνύουμε τον τύπο: (α + β)² = α² + β² + 2αβ υπολογίζοντας (με τρόπο σχεδόν αυτόματο) το γινόμενο (α + β) (α + β). Οι αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν τον παραπάνω τύπο, αλλά με γεωμετρική επένδυση, δηλαδή «το τετράγωνο με πλευρά του το ευθύγραμμο τμήμα, που είναι άθροισμα δύο άλλων τμημάτων α, β, είναι ισοδύναμο (δηλαδή έχει το ίδιο εμβαδόν) με το τετράγωνο πλευράς α συν το τετράγωνο πλευράς β συν δύο ορθογώνια με πλευρές α και β». Αυτά τα παραδείγματα μπορούν να δώσουν μια ιδέα της γεωμετρικής ά. που ανέπτυξαν οι αρχαίοι Έλληνες, τόσο ώστε να πετύχουν να λύσουν γεωμετρικά όλα τα προβλήματα που μπορούν να διατυπωθούν με εξισώσεις 2ου βαθμού. Αυτή η μέθοδος, όμως, ήταν όχι μόνο κουραστική σε σχέση με εκείνες που ενέπνευσε αργότερα η ά., αλλά και δεν επέτρεπε καθόλου να τεθούν προβλήματα με τέταρτες ή και υψηλότερες δυνάμεις του αγνώστου. Πραγματικά, ενώ η έκφραση x³ μπορεί να παρασταθεί γεωμετρικά ως «κύβος με πλευρά το τμήμα x», η έκφραση x⁴ στην περιοχή της στοιχειώδους γεωμετρίας δεν έχει καμιά έννοια (ενώ από την αριθμητικοαλγεβρική άποψη, αν δηλαδή το x νοηθεί ως αριθμός, και όχι ως ένα τμήμα, το x⁴ σημαίνει απλούστατα το γινόμενο τεσσάρων παραγόντων, ίσων προς το x, δηλαδή: x⁴ = x · x · x · x) Ήδη από τον 2ο αι. μ.Χ., οι Άραβες άρχισαν να θεωρούν τις εξισώσεις από αριθμητική άποψη, βρίσκοντας τις λύσεις τους με εκείνους τους (τυπικούς) κανόνες υπολογισμού, το σύνολο των οποίων ονομάζεται σήμερα στοιχειώδης ά. Η λέξη ά. αποτελεί παραφθορά του αραβικού όρου αλ-γιαμπρ, με τον οποίο ο μεγάλος μαθηματικός Αλ-Κουαρίσμι, που έζησε στη Βαγδάτη το πρώτο μισό του 9ου αι., εννοούσε την πράξη της μεταφοράς ενός όρου από το ένα μέλος (μιας εξίσωσης) στο άλλο με αλλαγή του προσήμου του (π.χ. αν Α + Β = Γ + Δ, αφαιρώντας και από τα δύο μέλη της εξίσωσης το Β, λαμβάνουμε: Α + Β - Β = Γ + Δ - Β, δηλαδή Α = Γ + Δ - Β, συνεπώς αρκεί να μεταφέρει κανείς το Β από το πρώτο στο δεύτερο μέρος αλλάζοντας το πρόσημο). Για να καθορίσουμε κανόνες λογισμού που να είναι γενικά εφαρμόσιμοι, χρειάζεται να εργαζόμαστε όχι με συγκεκριμένους, αλλά με γενικούς αριθμούς (όπως είναι, π.χ., τα γράμματα α και β, που χρησιμοποιήσαμε για να εκφράσουμε, γενικά, τον τρόπο υπολογισμού του τετραγώνου ενός αθροίσματος· μιας και ο κανόνας αυτός διατυπώθηκε με γράμματα, μπορεί να εφαρμοστεί σε κάθε ζεύγος συγκεκριμένων αριθμών, π.χ. τους 3 και 5, αν τεθεί α = 3, β = 5). Ο αλγεβρικός λογισμός προϋποθέτει λοιπόν και απαιτεί έναν συμβολισμό πιο αφηρημένο από εκείνον της στοιχειώδους αριθμητικής· είναι, μπορούμε να πούμε, ένας λογισμός με γράμματα. Για να φτάσουμε στη σημερινή συμβολιστική τελείωση του αλγεβρικού λογισμού, χρειάστηκαν πολλοί αιώνες· μπορεί να ισχυριστεί κανείς ότι μόλις προς το τέλος του 1600 τέθηκαν σε μαθηματική χρήση τα σημερινά σύμβολα των πράξεων (+, -, κλπ.), των αγνώστων (τα τελευταία γράμματα του αλφαβήτου: x, ψ, ...), των δεδομένων του προβλήματος, δηλαδή των αριθμών που θεωρούνται γνωστοί (τα πρώτα γράμματα του αλφαβήτου: α, β, γ, ...), των δυνάμεων (x², x³, x4 κλπ., που διαβάζονται: x στο τετράγωνο, x στον κύβο, x στην τετάρτη κλπ.· είναι αξιοπαρατήρητο ότι στην περίπτωση των εκθετών 2 και 3 παρέμεινε η ορολογία της γεωμετρικής ά. των αρχαίων Ελλήνων). Η σπουδή και η λύση των αλγεβρικών εξισώσεων.Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω συμβολισμό μπορούμε να γράψουμε ως εξής, με την πιο γενική μορφή, μια αλγεβρική εξίσωση ως προς x: (1) α_νx^ν + α_ν-1x^ν-1 + √⋅⋅⋅ + α₁x + α₀ = 0 Το πρώτο μέλος είναι ένα πολυώνυμο του x· οι αριθμοί α_ν, α_ν-1, ..., α₁, α₀ (που προς το παρόν εννοούνται ακέραιοι) ονομάζονται συντελεστές της εξίσωσης, και είναι είτε θετικοί είτε αρνητικοί. Ο αν μπορεί να θεωρείται διάφορος του μηδενός (αλλιώς, ο πρώτος προσθετέος θα μπορούσε να παραλειφθεί)· σε αυτή την περίπτωση ο ακέραιος αριθμός ν είναι ο μέγιστος εκθέτης των εμφανιζόμενων δυνάμεων του x (με συντελεστή διάφορο από το μηδέν). Το πολυώνυμο του πρώτου (αριστερά) μέλους της (1) είναι άθροισμα των μονώνυμων α_νx^ν,..., α₁x, α₀. Με τον όρο μονώνυμο εννοούμε γενικά κάθε έκφραση με γράμματα, που κατασκευάζεται με τη χρήση μόνο της πράξης του πολλαπλασιασμού (δηλαδή το γινόμενο δύο ή περισσότερων παραγόντων). Σημειώνουμε ότι ο περιορισμός σε ακέραιους συντελεστές (θετικούς ή αρνητικούς) θα εγκαταλειφθεί στα επόμενα στάδια· χρησιμοποιείται εδώ για την ευκολότερη κατανόηση και την απλούστερη έκθεση. Το x θεωρείται μια μεταβλητή, στην οποία μπορεί να δοθούν όλες οι τιμές από ένα πεδίο (ακέραιοι θετικοί, ακέραιοι σχετικοί, δηλαδή θετικοί ή αρνητικοί, ρητοί σχετικοί, που αποτελούν το λεγόμενο σώμα των ρητών αριθμών κλπ.). Γι’ αυτό, όταν το ζητούμενο είναι αν μια αλγεβρική εξίσωση όπως η (1) δέχεται λύσεις, δηλαδή όταν ερωτάται αν υπάρχουν τιμές της μεταβλητής x που να επαληθεύουν την εξίσωση (1), είναι ουσιώδης η διασάφηση: μέσα σε ποιο πεδίο ζητείται η λύση; Η έννοια της επίλυσης (ή μη επίλυσης) μιας εξίσωσης είναι σχετική με το προεκλεγόμενο πεδίο μέσα στο οποίο αναζητείται ο x. Μια εξίσωση μπορεί να μην επιδέχεται λύση σε ένα πεδίο, αλλά να δέχεται σε ένα άλλο πεδίο, πιο περιεκτικό. Θεωρούμε, π.χ., τις εξισώσεις: (α) x² - 4 = 0· (β) 4x² - 1 = 0· (γ) x² - 2 = 0· (δ) x² + 1 = 0. Η (α) έχει επίλυση μέσα στο πεδίο των ακεραίων· πραγματικά, μέσα στο πεδίο αυτό δέχεται δύο ρίζες (λύσεις), τις + 2, - 2. Η (β) δεν μπορεί να λυθεί στο πεδίο των ακεραίων, ενώ σε εκείνο των σχετικών ρητών (κλασμάτων με πρόσημο συν ή πλην) μπορεί· σε αυτό το πεδίο έχει τις δύο ρίζες +½, -½. Η (γ) δεν επιδέχεται λύση στο πεδίο των ρητών· δέχεται τις δύο ρίζες +√2, -√2, που είναι αριθμοί άρρητοι (αν θέλει κανείς να γράψει την τετραγωνική ρίζα του 2 [√2] ως δεκαδικό αριθμό, τότε προκύπτει μια άπειρη ακολουθία από δεκαδικά ψηφία, τα οποία από κάποιο ψηφίο και ύστερα δεν επαναλαμβάνονται περιοδικά κατά ομάδες). Λέμε ότι η (γ) δεν δέχεται λύση στο πεδίο των ρητών, έχει όμως δύο λύσεις στο πεδίο των πραγματικών αριθμών (που περιέχει και τους άρρητους αριθμούς, εκτός των ρητών). Τέλος, η (δ) είναι χωρίς λύση, ακόμα και στο πεδίο των πραγματικών αριθμών, διότι το τετράγωνο ενός πραγματικού αριθμού (θετικού ή αρνητικού) είναι πάντοτε θετικός αριθμός, δεν μπορεί συνεπώς να είναι ίσο με -1. Η (δ) δέχεται δύο λύσεις στο πεδίο των μιγαδικών αριθμών (πεδίο που λαμβάνεται με τη χρήση, εκτός των πραγματικών αριθμών, της φανταστικής μονάδας i, δηλαδή συμβόλου στο οποίο αποδίδεται η ιδιότητα να έχει ως τετράγωνό του το -1 και με το οποίο εργάζεται κατόπιν κανείς σαν να ήταν ένας συνήθης αριθμός· γι’ αυτό οι μιγαδικοί αριθμοί έχουν τη μορφή α + βi, όπου α το λεγόμενο πραγματικό μέρος και β το λεγόμενο φανταστικό μέρος). Ένα άλλο σημαντικό ζήτημα είναι αυτό της επίλυσης ή όχι μιας αλγεβρικής εξίσωσης με ριζικά. Η (1) θα επιδέχεται λύση με ριζικά, εφόσον είναι δυνατή η διατύπωση τύπων που επιτρέπουν τον υπολογισμό των ριζών της (πραγματικών ή μιγαδικών), από τους συντελεστές α, με εκτέλεση των τεσσάρων πράξεων και ενός πεπερασμένου πλήθους εξαγωγής ριζών (τετραγωνικών, κυβικών, τετάρτων κλπ.). Στα δύο ερωτήματα, πρώτον, πόσες ρίζες δέχεται στο μιγαδικό πεδίο η (1), δηλαδή μια αλγεβρική εξίσωση ν βαθμού, και δεύτερον πότε συμβαίνει η γενική αλγεβρική εξίσωση (1), ν βαθμού, να έχει λύση με ριζικά, οι μαθηματικοί έδωσαν μια ολοκληρωμένη απάντηση κατά τα τέλη του 18ου αι. και στις αρχές του 19ου αι., ύστερα από κόπους τριών αιώνων (τα πρώτα νέα αποτελέσματα, σχετικά με εκείνα που πέτυχαν με γεωμετρικό τρόπο οι αρχαίοι Έλληνες, οφείλονται στους Ιταλούς αλγεβριστές του 16ου αι.). Η απάντηση στο πρώτο ερώτημα δόθηκε με το λεγόμενο θεμελιώδες θεώρημα της ά., που διατύπωσε το 1746 ο Γάλλος Ντ’ Αλαμπέρ και απέδειξε με αυστηρότητα το 1799 ο Γερμανός Καρλ Φρίντριχ Γκάους. Το θεώρημα αυτό βεβαιώνει ότι μια αλγεβρική εξίσωση ν βαθμού με συντελεστές μιγαδικούς αριθμούς (ειδικώς: πραγματικούς, ρητούς, ακέραιους) δέχεται μέσα στο πεδίο των μιγαδικών αριθμών ακριβώς ν ρίζες· κάθε ρίζα, όμως, οφείλει να αριθμείται τόσες φορές όση είναι η πολλαπλότητά της (μια ρίζα r της (1) λέγεται ότι έχει πολλαπλότητα m, όταν το (x - r)m διαιρεί το πρώτο μέλος της (1), ενώ το (x - r)m + 1 δεν το διαιρεί· π.χ., θα πούμε ότι η εξίσωση x2 - 2x + 1 = 0, που μπορεί να γραφτεί με τη μορφή: (x - 1)2 = 0, έχει το 1 ως διπλή ρίζα, εννοώντας δηλαδή ότι πρέπει να λογαριαστεί δύο φορές κατά την αρίθμηση των ριζών. Σχετικά με το δεύτερο ερώτημα, υπενθυμίζουμε ότι οι τύποι λύσης των αλγεβρικών εξισώσεων 3ου και 4ου βαθμού δημοσιεύτηκαν για πρώτη φορά από τον Καρντάνο σε έναν τόμο του αφιερωμένο στην ά., την οποία ονόμαζε ars magna. Τον τύπο λύσης της εξίσωσης του 3ου βαθμού ανακάλυψε ο Σκιπίον Νταλ Φέρο, από την Μπολόνια, γύρω στο 1515, ενώ τον αντίστοιχο για τη λύση της εξίσωσης του 4ου βαθμού ανακάλυψε, λίγο αργότερα, ο Λουδοβίκος Φεράρι, επίσης από την Μπολόνια, μαθητής του Καρντάνο. Ο Ιταλός Πάολο Ρουφίνι (1799) και ο Νορβηγός Νιλς Ένρικ Άμπελ (1826) απέδειξαν, ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο, ότι η γενική εξίσωση του 5ου βαθμού δεν δέχεται λύση με ριζικά. Ο Γάλλος Εβαρίστ Γκαλουά, σε μια επιστολή του γραμμένη τις παραμονές του θανάτου του (1832), η οποία όμως δημοσιεύτηκε το 1846, απέδειξε ότι η γενική εξίσωση του ν βαθμού δεν έχει λύση με ριζικά για κάθε ν μεγαλύτερο του 4. (Για τους τύπους λύσης των εξισώσεων του 2ου, 3ου και 4ου βαθμού με έναν άγνωστο x, βλ. λ. εξίσωση· εκεί παραπέμπουμε επίσης για επιπλέον πληροφορίες γύρω από εξισώσεις με περισσότερους αγνώστους, για συστήματα εξισώσεων κλπ., ενώ εκεί υπάρχουν και παραπομπές σε ειδικότερα θέματα). Τα συστήματα με πράξεις της μοντέρνας ή αφηρημένης ά.Η μοντέρνα ά., στην οποία πραγματοποιήθηκε κατά τον περασμένο αιώνα μεγάλη πρόοδος, ασχολείται με πράξεις οποιασδήποτε φύσης· οι πράξεις αυτές επιτρέπουν την αντιστοίχιση σε διατεταγμένα ζεύγη στοιχείων, τα οποία (στοιχεία) ανήκουν σε ένα σύνολο, έστω I, ένα στοιχείο του ιδίου συνόλου I ή ενός άλλου συνόλου Ι’ (αυτός ακριβώς είναι ο ορισμός της διμελούς πράξης –δηλαδή πράξης σε ζεύγη– η οποία έχει ως πεδίο ορισμού το I και ως πεδίο τιμών το ίδιο το I ή το Ι’. Μπορεί όμως κανείς να φανταστεί και πράξεις τριμελείς, τετραμελείς κλπ., δηλαδή νόμους (απεικονίσεις) που αντιστοιχίζουν ένα στοιχείο σε κάθε διατεταγμένη τριάδα, διατεταγμένη τετράδα κλπ. Σε πράξεις που ορίζονται κατ’ αυτό τον τρόπο, ενδιαφέρουν μόνο οι τυπικές ιδιότητες, δηλαδή ιδιότητες που ισχύουν για κάθε εκλογή των στοιχείων· παραδείγματα των ιδιοτήτων αυτών είναι η προσεταιριστική, η μεταθετική και η επιμεριστική, γνωστές από τη στοιχειώδη αριθμητική. Ακριβέστερα, μια ομάδα τυπικών ιδιοτήτων λαμβάνεται ως αξιωματικός ορισμός, δηλαδή τυπικός, αυτής της ίδιας της πράξης. Όταν σε ένα σύνολο I εισάγονται μία ή περισσότερες πράξεις, αυτό ονομάζεται αλγεβρικό σύστημα ή αλγεβρική δομή. (Για περισσότερες λεπτομέρειες, βλ. λ. ομάδα [σύστημα με μια πράξη, το οποίο γενικεύει τον πολλαπλασιασμό των συνήθων κλασμάτων]· δακτύλιος, σώμα, πεδίο [δακτύλιος είναι ένα σύστημα με δύο πράξεις, που γενικεύουν την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό των σχετικών ακεραίων· αν ορίζεται και μια πράξη αντίστροφη για τον πολλαπλασιασμό, δηλαδή μια διαίρεση, τότε έχουμε τα σώματα και τα πεδία]. Για ένα παράδειγμα αλγεβρικής δομής που δεν συναντιέται στην αριθμητική βλ. λ. σύνδεσμος.) Εξαιρετικά αξιόλογη συμβολή στην ανάπτυξη της αφηρημένης ά. αποτέλεσαν οι εργασίες του Άγγλου μαθηματικού Μπουλ, ο οποίος κατά τα μέσα του 19ου αι. πρότεινε μια μέθοδο για να υποβάλει σε μαθηματικό λογισμό προβλήματα της λογικής. Από τις εργασίες αυτές προέκυψαν οι γνωστές σήμερα άλγεβρες του Μπουλ. Για να σχηματίσει ο αναγνώστης μια ιδέα του τι είναι μια ά. του Μπουλ, εκθέτουμε εδώ ένα παράδειγμα –το απλούστερο– μιας τέτοιας ά. (μια τυχόν βαθύτερη ανάπτυξη του θέματος αποτελεί ιδιαίτερο ζήτημα, η έκθεση του οποίου δεν είναι σκόπιμη εδώ). Ας θεωρήσουμε ένα σύνολο με μόνο δύο στοιχεία και ας τα συμβολίσουμε με 0 και 1 (τα διαβάζουμε, αντίστοιχα: μηδέν ένα). Στο σύνολο αυτό ορίζουμε τώρα ισότητα, πρόσθεση και πολλαπλασιασμό κατά τον εξής τρόπο: 1. ισότητα: 0 = 0, 1 = 1, 0 ≠1 2. πρόσθεση: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1,1 + 1 = 1 3. πολλαπλασιασμός: 0 · 0 = 0, 0 · 1 = 0, 1 · 0 = 0, 1 · 1 = 1 Ορίζουμε ακόμα μια πράξη που εφαρμόζεται σε καθένα από τα στοιχεία του συνόλου μας και δίνει ως αποτέλεσμα το άλλο στοιχείο. Συμβολίζουμε την πράξη αυτή με έναν τόνο (‘) και την ονομάζουμε συμπλήρωμα. Έτσι είναι: 0’ = 1 (το συμπλήρωμα του 0 είναι το 1) και 1’ = 0 (το συμπλήρωμα του 1 είναι το 0). Το σύνολο των στοιχείων 0 και 1, εφοδιασμένο με την προηγούμενη ισότητα και τις τρεις πράξεις (πρόσθεση, πολλαπλασιασμό, συμπλήρωμα), είναι (εξ ορισμού) μια ά. του Μπουλ. Η προηγούμενη ά. του Μπουλ βρίσκει εφαρμογή στις λεγόμενες συσκευές με δύο καταστάσεις λειτουργίας. Τέτοιες συσκευές χρησιμοποιούνται στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές, στις τηλεπικοινωνίες, στα συστήματα ελέγχου κ.α. Το πιο απλό παράδειγμα μιας τέτοιας συσκευής είναι ένας διακόπτης. Πραγματικά, ένας διακόπτης είναι είτε ανοιχτός (κατάσταση 0) είτε κλειστός (κατάσταση 1). Έτσι, στην περίπτωση δύο διακοπτών σε σειρά, έστω Α και Β, ισχύει, π.χ., ότι: αν είναι ανοιχτός ο Α (κατάσταση 0) και ανοιχτός ο Β (κατάσταση 0), τότε το σύστημα των δύο διακοπτών συμπεριφέρεται όπως ένας ανοιχτός διακόπτης (δεν διέρχεται το ρεύμα, κατάσταση 0). Το γεγονός αυτό εκφράζεται με το ότι 0 · 0 = 0. Η ά. Μπουλ του προηγούμενου παραδείγματος εκφράζει αφηρημένα (συμβολικά) όλες τις δυνατές καταστάσεις που παρουσιάζονται, όταν έχουμε δύο διακόπτες σε σειρά ή παράλληλα. Προμετωπίδα του Αλ-γκιαμπρ Ουαλμουκάμπαλα, στην οποία εμφανίζεται η λέξη από την οποία έχει προέλθει ο όρος «άλγεβρα». Μια σελίδα από το «Summa de arithmetica» του Λ. Πιτσιόλι (1494), ένα από τα παλαιότερα βιβλία άλγεβρας που δημοσιεύτηκαν στην Ιταλία. Ημιπερίοδος (Α-Α’) μικρής ταλάντωσης εκκρεμούς·με τη βοήθεια απλών αλγεβρικών τύπων υπολογίζεται το μήκος του εκκρεμούς. Ένας «καθολικός κατασκευαστής εξισώσεων», ένα ουτοπικό μηχάνημα που είχε περιληφθεί σε πίνακα της «Μεθοδικής Εγκυκλοπαίδειας» (Πάντοβα, 1790). Απόδειξη με γεωμετρικό τρόπο του αλγεβρικού τύπου (α+β) = α +2αβ+β Απόδειξη με γεωμετρικό τρόπο του αλγεβρικού τύπου (α+β) = α +2αβ+β

* * *

η Μαθ.

γενίκευση και επέκταση σε αυθαίρετες ποσότητες τών πράξεων τής αριθμητικής, δηλαδή τής προσθέσεως, τής αφαιρέσεως, τού πολλαπλασιασμού, τής διαιρέσεως, τής υψώσεως σε δύναμη και τής εξαγωγής ρίζας.

[ΕΤΥΜΟΛ. Ξεν. όρος. Πρόκειται για αραβική λ. που πέρασε στην επιστημονική ορολογία μέσω τού μσν. λατ. τύπου algebra. Ο όρος algebra (άλγεβρα) είναι απόδοση τού αραβ. al-jabr, που έχει προέλθει από τη σύζευξη τών όρων al-jabr [wa 'lmuqābalah] «αποκατάσταση (ή συμπλήρωση)» [«και εξίσωση»] με παράλειψη τού β' όρου (που δηλώνεται εδώ μέσα στις αγκύλες). Με τη σειρά της ολόκληρη η φράση «al-jabr w'almuqābalah» είναι τμήμα μιας μεγαλύτερης προτάσεως, που αποτελούσε τον πλήρη τίτλο ενός έργου τού μεγάλου Άραβα μαθηματικού τού 9ου αιώνα Mohammed ibn Mūsa al-khwārizmī. O πλήρης τίτλος τού έργου αυτού ήταν στα Αραβικά «al-kitāb al-mukhtaşar fi hisāb al-jabr wa'lmuqābala^h» («Συνοπτικό βιβλίο υπολογισμών με συμπλήρωση και εξίσωση»). Με τον όρο aljabr επικράτησε να χαρακτηρίζονται στα Αραβικά και μεταγενέστερα έργα που αναφέρονταν στο ίδιο θέμα. Έτσι βαθμηδόν γενικεύτηκε ο όρος al-jabr (μσν. λατ. algebra) ως όρος τής μαθηματικής επιστήμης.

ΠΑΡ. νεοελλ. αλγεβρικός].